Kompostovanie kvadratického trojčlena

Keď hovoríme o kompostovaní kvadratického trojčlena, hovoríme, že hľadáme korene kvadratickej funkcie. To sú priesečníky paraboly (tej krivej čiary na obrázku nižšie) s osou x (to je tá vodorovná čiara na obrázku nižšie). Práve tie body pomocou dômyselnej detektívnej práce ideme nájsť.

Tento spôsob totiž nevyžaduje pamätanie si zbytočných vzorcov. V zásade si pri tejto metóde musíš pamätať len podstatu metódy, žiadny zásadný vzorec na pamätanie sa tu nepoužíva.

Poďme na to.

  1. Ak ideme kvadratický trojčlen kompostovať, väčšinou máme k dispozícii kvadratickú rovnicu zrovnávajúcu inkriminovaný trojčlen s nulou.
  1. Cieľom tohto pátrania je získať zápis pomocou dvoch zátvoriek. Z nich práve symboly R a S sú korene, ktoré chceme vypočítať, zistiť, vypátrať.
  1. Hlodavce prišli na to, že tieto dva tvary kvadratickej rovnice vyjadrujú tú istú nulu, preto ich môžeme medzi sebou porovnať.
  1. Zátvorky na pravej strane prenásobíme medzi sebou buď „metódou čokoláda“ alebo „každý s každým“. Ľavú stranu nedráždime.
  1. Lineárne členy na pravej strane sčítame.
  1. Hlodavce si všimli, že členy na pravej a ľavej strane sa nápadne na seba podobajú. Všimni si číslo pri lineárnom člene x, pri kvadratickom člene x^2 i absolútneho člena. Sú zapísané v rovnakej štruktúre.
  1. Teraz si tie členy poctivo odpíšeme niekam nabok tak, aby sme ich medzi sebou zrovnali pomocou „rovná sa“. 
  1. Hlodavce si teraz všimli, že presne v strede medzi koreňmi je ich priemerná hodnota (R+S)/2. Preto deleno dvomi, lebo od ľubovoľného koreňa je to polovičná vzdialenosť.
  1. Od tohto priemeru je každý koreň, aj R, aj S, vzdialený o rovnakú hodnotu, nazvime ju z. Len pozor na znamienko, lebo jeden koreň ide od priemeru doľava (mínus), druhý ide doprava (plus).
  1. Teraz využijeme vyššie vyskúmaný vzťah -8=-(R+S) a dosadíme ho do rovníc koreňov. Na obrázku nižšie to znázorňujú zelené šípky. 
  1. Čísla v koreňových rovniciach upravíme tak, aby boli vzťahy megacool, aby lákali aj hlodavce.
  1. Trochu skôr sme vyskúmali vzťah 15=R∙S, ten teraz využijeme na ďalšie úvahy.
  1. V tomto okamihu ponecháme hlodavce pomiešať daný vzťah s koreňovými rovnicami.
  1. Získame novú rovnicu, ktorú ideme vyriešiť.
  1. Pravú stranu upravíme podľa známeho algebraického pravidla (a-b)∙(a+b)=a^2-b^2
  1. Teraz musíme urobiť takú vec, že z–ko osamostatníme na pravej strane:
    • Na prvom a druhom riadku odpočítame číslo 16 od oboch strán rovnice, aby sme osamostatnili z–ko na pravej strane.
    • Na treťom riadku rovnicu prenásobíme mínus jednotkou, aby sme sa zbavili znamienka pri z–ku.
    • Výsledkom je rovnica, kde ostáva samostatné kladné z–ko umocnené na druhú, ktoré nadobúda hodnotu 1
  1. Výslednú rovnicu 1=z^2 odmocníme, aby sme sa zbavili druhej mocniny nad z–kom.
  1. Druhá odmocnina má takú vlastnosť, že ak zbavuje druhej mocniny nad z–kom, tak musíme k jednotke na druhej strane pridať znamienka PLUS aj MÍNUS.
  1. Čiže z sa bude rovnať +1 aj -1.
  1. Tu sa hlodavce zamyslia a zisťujú, že toto z je opäť možné použiť v koreňových rovniciach, ktoré sme odhalili skôr. Do úvahy vezmeme plusové z, pretože sa jedná o vzdialenosť. V našom svete a vo svete hlodavcov je vzdialenosť vždy plusová. Preto. 
  1. Trochu počítania dá výsledné korene 3 a 5.
  1. Keď dáme do rovnosti pôvodný kvadratický výraz a výraz v koreňovom tvare, získame novú rovnicu, ktorá je platná, lebo všetky úpravy, čo sme urobili predtým, sú ekvivalentné a matematicky správne. 
  1. Hlodavce, ako aj my ľudia, chcú vedieť, čo to tie korene sú zač. Nakreslíme jeden obrázok, z ktorého je vidno, že korene sú miesta, kde parabola pretína os x. Ak nevieš, ako nakresliť parabolu, tak si urob tabuľku, kde budú x–ové čísla v prvom riadku a v druhom budú hodnoty skúmaného trojčlena po dosadení príslušného z čísel x doňho.
  1. Stĺpiky uvednej tabuľky sú body paraboly. Tie si do súradnicovej sústavy poznač a spoj ich medzi sebou. Vzniká tak parabola, alebo aj graf kvadratickej funkcie, na ktorej ležia body [-1; 25], [0; 15], [1; 8], [2; 3], [3; 0] – koren 1, [4; -1], [5; 0] – koren 2, [6; 3] atď.

Čím viac týchto bodov spravíš vedľa seba, tým presnejšia bude parabola (graf kvadratickej funkcie). Skús do tabuľky i grafu pridať aj desatinné čísla.

Tento spôsob, ktorý sme si spoločne prešli, je nový spôsob riešenia kvadratickej rovnice, ktorý bol skompletizovaný a uverejnený na konci roku 2019. S viac príkladmi je popísaný aj tu. Objaviteľ tejto metódy ju opisuje aj vo videu:

Ešte existuje jeden všeobecne použiteľný, oveľa starší a viac komplikovaný spôsob riešenia kvadratickej rovnice, pomocou diskriminantu.

Vyskúšaj sa

Je čas na sebavyskúšanie. Pozor! Rozlišuj medzi kvadratickou rovnicou (rovná sa nejakému konkrétnemu číslu) a kvadratickou funkciou (popisuje parabolu).

Rovnice

Kompostuj (rozlož a zisti korene pre) tieto kvadratické rovnice:

\[x^2+7x+12=0\] \[x^2-10x+25=0\] \[\frac{n(n+1)}{2}=0\]

Funkcie

Zisti korene kvadratických funkcií. (Čo s tou päťkou pri kvadratickom člene?)

\[f(x)=5x^2+6x+1\]

Zisti korene kvadratických funkcií. (Pri kvadratickom člene je jednotka.)

\[f(x)=x^2-x-3\] \[f(x)=x^2-16\]

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *