Balenie darčekov ako matematický problém

Za každým riešením akejkoľvek záhady hľadaj matematiku. V tomto prípade ti ušetrí kopu peňazí i životného prostredia pre vianočného soba.

Existuje nekonečne veľa spôsobov, ako zabaliť darček 🎁 do baliaceho papiera. Avšak jediný pohľad oka matematiky zabezpečí, že z balenia sa stane ohromná zábavka pri snahe odstrihnúť požadovaný kus. Okrem darčekov sa na to dajú baliť aj baby ;-). Aké máš teda možnosti?

Krabička

Predpokladajme na chvíľku, že na zabalenie čaká ideálna krabička v tvare kvádra, ktorý má rozmery a×b×c, na ktorú pred domom čaká sob, aby ju odniesol na cieľové miesto. Sob však potrebuje zožrať dáke seno rovnako, ako krabička nabaliť baliaci papier. Preto sa treba na chvíľu zastaviť, spomaliť, nadýchnuť a ísť na to.

Rozmer a tvar papiera

Na tvare papiera záleží. Buď sa nastriháš moc, alebo tak akurát. Tu si ukážeme tri rôzne spôsoby, ako obaliť krabičku a čo to znamená vo vzťahu k množstvu minutého papiera a vo vzťahu k množstvu sobom zožratého sena.

Presné obliepanie – mininálna baliaca plocha

Presné obliepanie podľa stien ideálnej krabičky sa nazýva v odbornej terminológii sieť kvádra. Plocha baliaceho papiera sa rovná ploche kvádra, avšak ak sa rozhodneš ísť týmto smerom, máš čo robiť so strihaním – minimálne 8 rôznych strihov, no do toho nepočítam odstrihávanie z rolky. Navyše budeš mať nechutne veľa odpadu.

Môže sa rovnako aj stať, a ver, že sa to stane, že hrany krabičky bude cez strihy siete vidno, čo výsledný wow efekt pre obdarovaného mierne zníži a ty budeš vyzerať ako chudák, ktorý si nevie zaviazať ani šnúrky na topánkach. Teoreticky to môže na baby pôsobiť dobre a vyvolať v nich taký ten materinský cit sa o teba začať starať, pretože sa o seba nedokážeš postarať sám.

via GIPHY

S touto zámienkou ti neskôr radšej vezme aj peniaze. Tento neželaný jav je daný tým, že určite nestriháš presne. Pri tak zabalenom darčeku ho dokonca aj sob môže s kľudným svedomím odmietnuť odniesť. Keďže nežijeme v dokonalom vesmíre, ktorý je však až dokonale zhodný s matematikou, túto možnosť, prosím, zavrhni hneď teraz.

Ak si to chceš nakresliť, aby si videl svoju cestu do pekiel, odporúčam izometrický papier [PDF]. Je to fakt cool. Sleduj:

Balenie krabičky do presnej siete identického kvádra je síce matematicky fajn, ale vzhľadom na tvoj budúci partnerský život túto možnosť zavrhni hneď teraz.

Rovnobežné balenie – maximálna baliaca plocha

Keď sa rozhodneš zabaliť krabičku pomocou rovnobežiek (strana papiera je rovnobežná so stenami krabičky), sob si asi rozdiel nevšimne, ale rozhodne je to matematicky nevýhodný spôsob. Ukážme si to najskôr na nákrese:

Rovnobežné balenie ťa oberie o vlastnícke práva na svoj život.

Výpočet plochy papiera dá vzorček, ktorý prezradí, že oproti presnému obliepaniu popísanému vyššie pridávaš navyše štyri rohy, ktoré presné obliepanie celkom určite vylúči. Práve kvôli tým štyrom rohom. Tu míňaš až príliš veľa papiera, aj keď striháš menej. Ešte existuje možnosť skrátiť jednu stranu až na samotnú hranicu hodnoty c, čím by si sa stále nezbavil štyroch rohov plochy papiera.

Táto možnosť ti síce zlepší vyhliadky na založenie budúcej rodiny, ale hovorí o tebe, že plytveš zdrojmi a môže viesť až k strate vlastníckych práv na všetko, čo vo svojom živote povieš alebo urobíš. Po istom čase ti nebude patriť už ani sob.

Diagonálne balenie – ideál, lámač ženských sŕdc

Jedná sa o také balenie krabičky, že papier bude vždy štvorec, ktorý je samozrejme závislý od troch rozmerov krabičky. Túto závislosť prejavujú aj dva vyššie spomínané spôsoby, ale nechcel som to furt motať a otravovať ťa s tým. Ukážme si to najskôr na nákrese:

Diagonálne balenie ušetrí čas, ušetrí peniaze a zvýši tvoje spoločenské postavenie.

Keďže pracujeme s ideálnou krabičkou, tak pootočenie papiera voči nej určíme na 45°. Následné výpočty plôch dajú vzorček, ktorý porovnaním s vyššie spomínanými dvomi dokáže, že takto odstrihnutý papier je ideálny. Rohy štvorca, ktoré na papieri presahujú hodnotu c, sú rovnoramenné pravouhlé trojuholníky s výškou rovnou polovici ich prepony. Túto sexy vlastnosť baliaceho papiera nijak inak nezískaš, iba takto.

Jediné, čo teraz potrebuješ je, aby si si zmeral rozmery krabičky a vyjadril podľa nich stranu štvorca baliaceho papiera:

\[\sqrt(2)*(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c)\]

Kde a, b, c sú dĺžky hrán krabičky.

Nalož sobovi sena, spočítaj veľkosť papiera, štvorec s takto dlhou stranou následne vystrihni, vyskúšaj, zabaľ krabičku a vyraz obdarúvať. Odteraz ušetríš papier, peniaze, čas, seno, prírodu i svoju budúcu česť.

Praktický príklad

Dajme si nejakú ideálnu krabičku, krabičku s iPhone-om vo vnútri. Neskúšaj to robiť bez toho obsahu, lebo si to poserieš. Prázdna môže byť iba za jedinej podmienky, že tam bude prsteň:

Vzor ideálnej krabičky. Povolený obsah je iPhone alebo prsteň.

Rozmery tejto cool krabičky sú dĺžka (a) = 15,6 cm, šírka (b) = 8,6 cm a výška (c) = 4,9 cm.

Plocha papiera v tvare plášta tejto krabičky:

\[S_{min}=2*(ab+ac+bc)=505,48 cm^2\]

Plocha papiera v rovnobežnej verzii:

\[S_{max}=4*(a+c)*(b+c)=1107 cm^2\]

Plocha papiera v diagonálnej verzii:

\[S_{ideál}=\frac{1}{2}*(a+b+2c)^2=578 cm^2\]

Podľa uvedených výpočtov je diagonálna verzia najlepšia vzhľadom na množstvo strihania a množstvo minutého papiera. Dokonca to množstvo kleslo cca. na polovicu oproti rovnobežnej verzii strihania. Pecka, že?

Matematika to vie krásne a čisto spočítať, avšak realita je taká, že meranie a strihanie budú značne nepresné, tak aby nedošlo k nepeknými milimetrovým medzerám pri zaliepaní baliaceho papiera, nakŕm soba a pridaj na obvode daného papiera ešte pár centimetrov štvorcových, aby bol výsledný štvorec o čosi väčší, ako ten presný matematický.

Lovu zdar!

via GIPHY

Pridaj komentár

Vaša e-mailová adresa nebude zverejnená. Vyžadované polia sú označené *