Kategórie
Vzdelávanie

Neobmedzená myseľ

Hovorí sa, že niektorí ľudia sa nedokážu nič naučiť. Najnovšie vedecké poznatky v oblasti schopnosti mozgu učiť sa však dokazujú opak. Nauč sa čokoľvek na akejkoľvek úrovni. Toto pojednanie o obsahu knihy Limitless mind od Jo Boaler ti prezradí, ako sa učiť vysoko efektívne.

Kniha je rozdelená na 6 častí, ktoré autorka (matematička, učiteľka, vedkyňa) označuje za 6 základných kľúčov k úspechu v učení matematiky (a čohokoľvek iného). Uvediem ich tu v rovnakom poradí, ako v knihe a skúsime si ich priblížiť viac prakticky, ako sa ich snažím aplikovať do hodín matematiky.

Šesť kľúčov

  • Neuroplasticita mení všetko
  • Prečo musíme milovať chyby, tápanie a zlyhania
  • Zmeň myslenie, zmeníš realitu
  • Prepojený mozog
  • Rýchlosť nehrá úlohu, flexibilita je podstatná
  • Spolupráca podporuje hlboké vzdelanie

Knihu si nebudeme rozoberať tak, ako je to zvykom pri recenziách. Urobím tu výcuc múdrostí, ktoré som si z nej vypísal a okorením ich (občas) svojou skúsenosťou alebo niečím praktickým. Pripomínam len, že tieto poznatky, ktoré sa teraz dozvieš, sú esenciou potvrdených vedeckých bádaní.

Nekonečné množstvo inšpirácií

Naučená nechuť z matiky aktivuje rovnaké centrá v mozgu, ako strach z hadov a pavúkov.

Môžem potvrdiť. Sleduj (ak si učiteľ) svoje deti pri matike, daj im urobiť dotazník. Ak nie si učiteľ, svojim vnútorným hlasom si daj sebe niečo spočítať. Napríklad výšku peňazí, ktoré preplatíš pri pôžičke. Aký máš pri tom pocit? Alebo stačí, ak si spomenieš na tie skvelé zážitky z hodín matiky. Aké to je?

Mozog je plastický a dokáže sa meniť. Tréningom sa zvyšuje aj inteligencia a schopnosť riešiť matematické problémy.

Áno áno. Áno a ešte raz áno. Len treba poctivo a systematicky makať. Ak si môj žiak (a ja tvoj učiteľ), tak preto ti posielam úlohy, ktoré vyžadujú viac mozgovíého úsilia, ako imitácií kalkulačky. Budeš inteligentnejší.

Nehodnotiť človeka, ale to, čo urobil v pozitívnom duchu.

Veľakrát je hodnotený samotný žiak, nie výsledok jeho práce. Tomu sa snažím zamedziť kriteriálnym hodnotením. Ak splní alebo nesplní kritériá, podľa toho má známku, alebo nie je hodnotený.

Vždy, keď sa učíš, tak mozog formuje nové neurónové spojenia alebo prepája už tie, čo existujú. Vymeň vo svojom presvedčení myšlienku fixnej schopnosti sa učiť za myšlienku, že každý je na ceste za rastom myslenia.

Ver tomu, že v každom veku sa dokážeš niečo naučiť. Vždy, neustále.

Školy, ktoré nedelia študentov podľa schopností na tie lepšie a horšie triedy/skupiny, ale pomiešajú ich náhodne, majú lepšie výsledky.

Nuž. Toto si musia vziať k srdcu riaditelia škôl. Odkáž im to.

Je nemožné žiť bez zlyhania.

Odporúčam vytlačiť veľkým písmom na papier ako plagát a prišpendliť na nástenku. Jeden taký som pre teba pripravil. Sťahuj tu.

Dar na matiku neexistuje. Kto tomu verí je odsúdený neuspieť v matematike, lebo odmieta ťažkosti, ktoré ho zastavia vo viere, že musí všetko vedieť vždy a na 100%. Lebo tento „dar“ pokladá za vlastnosť, že sa nikdy nezasekne. A preto taký človek zlyhá.

Sleduj seba i okolie. Ono to tak naozaj je. Zbav sa tejto falošnej viery a tvoja inteligencia bude rásť ako vírusová nákaza v spoločnosti.

Úspech prichádza po tvrdej práci, nie z talentu.

Tak makaj.

Čas robenia chýb a tápania je najlepší čas, kedy mozog rastie. A rast mozgu má priamy súvis s učením sa nových vecí.

Tak prečo tak veľa učiteľov dáva zlé známky za chyby, keď tie sú jasným ukazovateľom toho, že žiak je na hrane svojich vedomostí, a práve vtedy sa niečo nové učí?

Keď robíš chyby, tvoj mozog je aktívnejší, ako keď chyby nerobíš.

Treba niečo dodať? Pre kolegov učiteľov: využi to v prospech žiakov.

Aby študenti rástli, potrebujú riešiť úlohy – výzvy na hrane ich vedomostí.

Nedávaj im, ak si učiteľ, zadania, ktorým rozumejú na 100%. Tvoj predmet ich bude nudiť. Pamätáš na také tie výzvy, že chápeš ich zadaniu, no nepoznáš hneď riešenie, ale mozog ti nedovolí odísť, kým ich nevyriešiš? Také vymýšľaj a študentom dávaj.

Učenie vyžaduje čas.

Nikdy sa pri učení neponáhľaj. Viem, že na časovo obmedzenej písomke to je ťažké, ale to nepokladám za učenie. Učenie prebieha, ak si v pohode, nie v strese.

Keď učiteľ namodeluje hodinu na malé ľahké kroky, študenti sa netrápia, ale ani sa nič nenaučia.

Treba niečo dodať?

Matematika je vyučovaná nesprávne, ak učíme len vzorce a výpočty.

A čo sa študenti učia v škole na matike? Vzorce a výpočty. Niet sa čo diviť, že matika nikoho nebaví. Taký človek nikdy nezažil radosť z matematického objavovania.

Časovo obmedzené matematické testy môžu za hnev voči matematike.

Rozumný termín má zmysel, tu hovoríme o testoch obmedzených na 45 minút, alebo o bájnych 5–minútovkách. Mozog vtedy zapína stresové centrá zodpovedné za únik alebo útok a absolútne vypne centrá mozgu zodpovedné za učenie a premýšľanie. Čo potom taký test spôsobuje? Nič dobré.

Ešte to doplní ďalší citát.

Keď deťom dávate časové testy, zažívajú stres, pracovná pamäť je znefunkčnená a mozog nemá prístup k matematickým faktom.

Ja som to hovoril!

Rýchlosť v matematike nie je dôležitá.

Potvrdí 512 z 9 matematikov, lebo…

Matematici myslia pomaly a hlboko.

Poďme ďalej na ďalšiu perlu z knihy.

Keď máš pocit, že je to ťažké, tvoj mozog rastie.

Je to preto, lebo sa vtedy veľa mýliš, robíš mrte chýb a zlyhávaš.

Omyly rastú tvoj mozog.

A deje sa to celý život. Nevyhováraj sa na vek. Ale hlavne, nebuď alibistom, že už nemáš na niečo vek, lebo sa nedokážeš nič naučiť.

Je lepšie nechať deti trápiť sa (v zmysle úloh), ako ich pred trápením chrániť. Vedie ich to k lepšej budúcnosti.

Taký ten pocit, také nepríjemní nutkanie pomáhať, má každý učiteľ (a rodič) v sebe. Potlač to v tej správnej chvíli. Škola a teplo domova je dosť bezpečné prostredie na to, aby si mohol/la nechať študentov/deti potrápiť sa nad riešením akejkoľvek úlohy.

Keď zmeníme našu vieru, naše telá a mozgy sa fyzicky zmenia tiež.

To bolo pre mňa dosť šokujúce, aj keď tušenie tam bolo. Po istom čase to cítiť. Je to dokázaná vec.

Chyby sú produktívne pre mozgovú aktivitu a rast.

Čo tie štvorky a päťky, čo dávaš žiakom, keď zlyhajú? Nemyslíš, že ich to brzdí? A teraz niečo pre študentov:

Ak uveríš, že sa učíš produktívne, naučíš sa viac.

Uver!

Nálepka, „si múdry“, vedie deti k výberu ľahších úloh/zadaní. Žiadosť „tvrdej práce“ vedie k výberu ťažších zadaní.

Keď ako učiteľ dáš žiakom možnosť výberu náročnosti úloh, nielen, že výučba bude individualizovaná, ale umožňuješ tak študentom prekonávať vlastné limity.

Ak sa niekto vyhovára, použi slovko ZATIAĽ.

— Neviem to, lebo tomu nerozumiem.
— Zatiaľ tomu nerozumieš

— Nedokážem to vyrátať, je to pre mňa ťažké.
— Zatiaľ to je pre teba ťažké.

Atď. Azda vidíš zmysel toho slovka.

Neurónové siete a učenie sú optimalizované, keď posudzujeme idey z rôznych uhlov pohľadu.

Keď učíš deti len rátať počty a vzorce, tak neurónová sieť v mozgu študenta bude menej funkčná, ako keď úlohy otvoríš a rozšíriš o vizualizáciu.

Snaha je kľúč k úspechu študenta, ale nie je jediný. Študenti potrebujú skĺbiť nové stratégie a vidieť vstupy od ostatných, ak sa trápia.

Snažiť sa a pýtať sa.

Riešenie matematických problémo aktivuje vizuálne centrá v mozgu ⇒ problémy je nutné tlačiť do vizuálnej reprezentácie – tvary, grafy, tabuľky, obrázce.

Bez vizuálnej reprezentácie si zatváraš dvere k lepšiemu pochopeniu matiky.

Memorovači vedia byť úspešní používaním učiteľových metód, často však bez akéhokoľvek porozumenia.

Pripomína ti to niekoho?

Ak sa študenti učia metódy, fakty a algoritmy naspamäť skôr, ako im rozumejú, nerozivnú si schopnosť vnímať čísla flexibilne.

Vyskúšaj si to sama/sám. Najprv si to predstav v hlave a potom to nakresli. opováž sa to vypočítať hneď. Sleduj svoje myšlienky, ako ten výpočet v hlave prebieha. Zavri oči, spomaľ a sleduj, čo robí tvoja hlava. Ako počítaš 18×15? Nakresli si to. Nepočítaj. Skús to. Bež si po kus papiera a pero. Ja počkám.

Spájanie s ľuďmi a myšlienkami vylepšuje nervové spojenia a učenie.

Nesnaž sa robiť všetko sama/sám. Mimo školu, v práci, doma, hocikde na nič nebudeš len ty. Vždy si dakoho zavoláš, požiadaš dakoho o pomoc, … Vždy. Ver mi. Zažil som to. Iba v škole to mnoho učiteľov núti robiť žiakov a študentov.

Lepšie výsledky dosahujú študenti, ktorí na pridelených úlohách spolupracujú v skupinách, ako tí, čo sa ich snažia vyriešiť osamote a samostatne.

Ak sedíš doma, zavolaj si so spolužiakom a riešte veci spoločne. Už len to pomôže.

Spolupráca vytvára spojenia medzi rôznymi myšlienkami.

Treba niečo dodávať?

Študenti v triedach zložených z imigrantov dosahujú lepšie vedomostné skóre.

To je dané tým, že rôzne kultúry vidia veci inak a vďaka tomu prispievajú k ich hlbiešmu pochopeniu, lebo ukazujú veci z rôznych nepoznaných pohľadov.

Ak robíš veci inak, budú ťa kritizovať.

Priznám sa, že toto mi je dosť blízke. Od prapočiatku mojej internetovej existencie sa potýkam s ľuďmi, ktorí kritizujú to, čo robím. Či už v dobrom, alebo zlom. Ver alebo nie, posúva ma to dopredu. Rob veci inak, think different.

Think different

Je hodnotné mať rôzne idey riešení.

Veľmi hodnotné. Moji študenti často riešia veci zásadne rôzne a sú nutení okolnosťami o tom medzi sebou debatovať. Mojou snahou je ich zmierovať, ak je to príliš ostré (matematická hádka), ale je to príjemný pocit, také dačo zažívať.

Ľudia s rastovým myslením (vnímajú chyby pozitívne, ako hodnotnú cestu k úspechu) sú menej agresívni.

Agresívny býva väčšinou človek, ktorý sa bojí zmeny (chyby) a mozog ho v tejto stresovej situácii automaticky dostáva do stavu úniku alebo útoku (agresia).

Je nutné sa zbaviť presvedčenia, že si nájmúdrejší a tvoju myseľ to oslobodí.

Skús to, nebráň sa. Chvíľu sa budeš cítiť nekomfortne, ale zvykneš si. A zrazu to príde.

Učiteľ sa nemusí báť pomýliť sa. Získava tak reálnosť a ukazuje, že robiť chyby je v poriadku.

Stáva sa aj mne. Bežne. Snažím sa to využiť v prospech odbúravania strachu z robenia chýb.

Požiadaj svoje deti, aby ťa niečo naučili. Bude ich to baviť, budú hrdé a bude ich baviť učiť sa.

Nechaj svojich žiakov, ak si učiteľ, vysvetľovať veci. Spolužiakom, tebe, komukoľvek.

Ľudí vnímaj ako spolupracovníkov, nie ako súťažiacich.

Ak niekto niečo vie viac, ako ty, vnímaj to pozitívne tak, že sa od neho môžeš niečo naučiť a potiahne to aj teba. Dopredu.

Učenie je sociálne, nie individuálne.

Každý učiteľ zapísať na čelo zrkadlovo. Akákoľvek spolupráca v škole je viac, ako prospešná na to, aby každý žiak mohol napredovať.

Celá matematika je o komunikácii a zdôvodňovaní.

Áno, áno. Je, je. Máš argument na obhájenie tvojej metódy? Sem s ním. Bez hanby.

Demotivovaný študent je preto demotivovaný, lebo v minulosti ho ktosi presvedčil, že nemôže byť úspešný (v matematike, v dačom).

Každý môže byť. V niečom. V čomkoľvek.

Ďakujem za pozornosť.

Kategórie
Vzdelávanie

Kompostovanie kvadratického trojčlena

Keď hovoríme o kompostovaní kvadratického trojčlena, hovoríme, že hľadáme korene kvadratickej funkcie. To sú priesečníky paraboly (tej krivej čiary na obrázku nižšie) s osou x (to je tá vodorovná čiara na obrázku nižšie). Práve tie body pomocou dômyselnej detektívnej práce ideme nájsť.

Tento spôsob totiž nevyžaduje pamätanie si zbytočných vzorcov. V zásade si pri tejto metóde musíš pamätať len podstatu metódy, žiadny zásadný vzorec na pamätanie sa tu nepoužíva.

Poďme na to.

  1. Ak ideme kvadratický trojčlen kompostovať, väčšinou máme k dispozícii kvadratickú rovnicu zrovnávajúcu inkriminovaný trojčlen s nulou.
  1. Cieľom tohto pátrania je získať zápis pomocou dvoch zátvoriek. Z nich práve symboly R a S sú korene, ktoré chceme vypočítať, zistiť, vypátrať.
  1. Hlodavce prišli na to, že tieto dva tvary kvadratickej rovnice vyjadrujú tú istú nulu, preto ich môžeme medzi sebou porovnať.
  1. Zátvorky na pravej strane prenásobíme medzi sebou buď „metódou čokoláda“ alebo „každý s každým“. Ľavú stranu nedráždime.
  1. Lineárne členy na pravej strane sčítame.
  1. Hlodavce si všimli, že členy na pravej a ľavej strane sa nápadne na seba podobajú. Všimni si číslo pri lineárnom člene x, pri kvadratickom člene x^2 i absolútneho člena. Sú zapísané v rovnakej štruktúre.
  1. Teraz si tie členy poctivo odpíšeme niekam nabok tak, aby sme ich medzi sebou zrovnali pomocou „rovná sa“. 
  1. Hlodavce si teraz všimli, že presne v strede medzi koreňmi je ich priemerná hodnota (R+S)/2. Preto deleno dvomi, lebo od ľubovoľného koreňa je to polovičná vzdialenosť.
  1. Od tohto priemeru je každý koreň, aj R, aj S, vzdialený o rovnakú hodnotu, nazvime ju z. Len pozor na znamienko, lebo jeden koreň ide od priemeru doľava (mínus), druhý ide doprava (plus).
  1. Teraz využijeme vyššie vyskúmaný vzťah -8=-(R+S) a dosadíme ho do rovníc koreňov. Na obrázku nižšie to znázorňujú zelené šípky. 
  1. Čísla v koreňových rovniciach upravíme tak, aby boli vzťahy megacool, aby lákali aj hlodavce.
  1. Trochu skôr sme vyskúmali vzťah 15=R∙S, ten teraz využijeme na ďalšie úvahy.
  1. V tomto okamihu ponecháme hlodavce pomiešať daný vzťah s koreňovými rovnicami.
  1. Získame novú rovnicu, ktorú ideme vyriešiť.
  1. Pravú stranu upravíme podľa známeho algebraického pravidla (a-b)∙(a+b)=a^2-b^2
  1. Teraz musíme urobiť takú vec, že z–ko osamostatníme na pravej strane:
    • Na prvom a druhom riadku odpočítame číslo 16 od oboch strán rovnice, aby sme osamostatnili z–ko na pravej strane.
    • Na treťom riadku rovnicu prenásobíme mínus jednotkou, aby sme sa zbavili znamienka pri z–ku.
    • Výsledkom je rovnica, kde ostáva samostatné kladné z–ko umocnené na druhú, ktoré nadobúda hodnotu 1
  1. Výslednú rovnicu 1=z^2 odmocníme, aby sme sa zbavili druhej mocniny nad z–kom.
  1. Druhá odmocnina má takú vlastnosť, že ak zbavuje druhej mocniny nad z–kom, tak musíme k jednotke na druhej strane pridať znamienka PLUS aj MÍNUS.
  1. Čiže z sa bude rovnať +1 aj -1.
  1. Tu sa hlodavce zamyslia a zisťujú, že toto z je opäť možné použiť v koreňových rovniciach, ktoré sme odhalili skôr. Do úvahy vezmeme plusové z, pretože sa jedná o vzdialenosť. V našom svete a vo svete hlodavcov je vzdialenosť vždy plusová. Preto. 
  1. Trochu počítania dá výsledné korene 3 a 5.
  1. Keď dáme do rovnosti pôvodný kvadratický výraz a výraz v koreňovom tvare, získame novú rovnicu, ktorá je platná, lebo všetky úpravy, čo sme urobili predtým, sú ekvivalentné a matematicky správne. 
  1. Hlodavce, ako aj my ľudia, chcú vedieť, čo to tie korene sú zač. Nakreslíme jeden obrázok, z ktorého je vidno, že korene sú miesta, kde parabola pretína os x. Ak nevieš, ako nakresliť parabolu, tak si urob tabuľku, kde budú x–ové čísla v prvom riadku a v druhom budú hodnoty skúmaného trojčlena po dosadení príslušného z čísel x doňho.
  1. Stĺpiky uvednej tabuľky sú body paraboly. Tie si do súradnicovej sústavy poznač a spoj ich medzi sebou. Vzniká tak parabola, alebo aj graf kvadratickej funkcie, na ktorej ležia body [-1; 25], [0; 15], [1; 8], [2; 3], [3; 0] – koren 1, [4; -1], [5; 0] – koren 2, [6; 3] atď.

Čím viac týchto bodov spravíš vedľa seba, tým presnejšia bude parabola (graf kvadratickej funkcie). Skús do tabuľky i grafu pridať aj desatinné čísla.

Tento spôsob, ktorý sme si spoločne prešli, je nový spôsob riešenia kvadratickej rovnice, ktorý bol skompletizovaný a uverejnený na konci roku 2019. S viac príkladmi je popísaný aj tu. Objaviteľ tejto metódy ju opisuje aj vo videu:

Ešte existuje jeden všeobecne použiteľný, oveľa starší a viac komplikovaný spôsob riešenia kvadratickej rovnice, pomocou diskriminantu.

Vyskúšaj sa

Je čas na sebavyskúšanie. Pozor! Rozlišuj medzi kvadratickou rovnicou (rovná sa nejakému konkrétnemu číslu) a kvadratickou funkciou (popisuje parabolu).

Rovnice

Kompostuj (rozlož a zisti korene pre) tieto kvadratické rovnice:

\[x^2+7x+12=0\] \[x^2-10x+25=0\] \[\frac{n(n+1)}{2}=0\]

Funkcie

Zisti korene kvadratických funkcií. (Čo s tou päťkou pri kvadratickom člene?)

\[f(x)=5x^2+6x+1\]

Zisti korene kvadratických funkcií. (Pri kvadratickom člene je jednotka.)

\[f(x)=x^2-x-3\] \[f(x)=x^2-16\]
Kategórie
Vzdelávanie

Premena štvorca na štvorec

Alebo ako zistiť z predpisu kvadratickej funkcie, rovnice a čohokoľvek kvadratického vrchol paraboly. Inak povedané, ideme hľadať vrcholový tvar kvadratickej rovnice metódou doplnenia na štvorec.

Ideme rovno na vec, ber to ako návod bez balastu.

  1. Majme úplne nudnú kvadratickú rovnicu v najnudnejšom tvare, aký existuje. Existujú aj viac sexy tvary, ale človek musí byť trpezlivý. Všetko má svoj čas.
  1. Jej ľavú stranu vieme nakresliť ako obsah štvorcov a obdĺžnikov. Toto je stará známa metóda čokoláda.
  1. Štvorec x na druhú necháme na pokoji. Hovorí sa, že nedráždi kvadratický člen bosou nohou! Rovnako nedráždime žiadnou matematickou operáciou ani absolútny číselný člen. Na polovice rozdelíme len lineárny člen skrze jeho číslo.
  1. PRÁSK!
  1. Rozdelené lineárne polovičky majú jednu stranu dlhú presne a len presne x. Preto jednu z nich prilepíme zospodu štvorca, ktorý má celkom náhodou tiež stranu dlhú x.
  1. Novému štvorcu, ktorý takto vznikol, chýba malý rožtek, ktorý je čírou náhodou v tvare malého štvorca. Dĺžka jeho strany je celkom zrejmá na základe nasilu rozdelených lineárnych polovičiek.
  2. Tento nový štvorček pridáme do obrázku, ale aby bolo všetko vo vesmíre v rovnováhe, musíme ho zároveň aj odobrať. Tento trik sa nazýva operácia nula, alebo staré matere zvyknú hovorievať aj operácia nič.
  1. A teraz to pomiešame a vyvodíme závery. Uvažuj nad tým, prečo je strana nového štvorca dlhá x – 4.
  1. Obsahy jednotlivých štvorcov a obdĺžnikov teraz odpíšeme sucho matematicky, znovu navrátime rovnosť a na pravú stranu dáme nulu. Pozor však na znamienka! Fakt bacha na znamienka!
  1. Rozpíšeme a spočítame, čo sa spočítať dá. Hlavne tie absolútne čísla, ktoré sa v celej rovnici potuľujú tak trochu nesmelo. Kvadratický člen nechajme na pokoji! 
  1. Tadá!

Čo však s tým? Čo to znamená? Na čo je to dobré? Totiž, zistili sme vrchol paraboly. Úplne bez vzorca, čisto iba kreslením, uvažovaním nad obsahmi, presúvaním a sčítaním pár čísel.

Špeciálne si všimni čísla 4 a 1 v rovnici a zamysli sa nad tým, čo vidíš na obrázku nižšie v grafe.

Precvič si to

Tvojou úlohou je zistiť vrchol každej z týchto parabol.

\[f(x) = x^2-6x+7\] \[f(x) = x^2+4x+7\] \[f(x) = 2x^2-12x+14\]

Svoje výsledky si over pomocou softvéru typu GeoGebra Graphing Calculator alebo Photomath. Teraz vieš metódu doplnenia na štvorec bez nutnosti poznať vzorec.

Kategórie
Vzdelávanie

Balenie darčekov ako matematický problém

Za každým riešením akejkoľvek záhady hľadaj matematiku. V tomto prípade ti ušetrí kopu peňazí i životného prostredia pre vianočného soba.

Existuje nekonečne veľa spôsobov, ako zabaliť darček 🎁 do baliaceho papiera. Avšak jediný pohľad oka matematiky zabezpečí, že z balenia sa stane ohromná zábavka pri snahe odstrihnúť požadovaný kus. Okrem darčekov sa na to dajú baliť aj baby ;-). Aké máš teda možnosti?

Krabička

Predpokladajme na chvíľku, že na zabalenie čaká ideálna krabička v tvare kvádra, ktorý má rozmery a×b×c, na ktorú pred domom čaká sob, aby ju odniesol na cieľové miesto. Sob však potrebuje zožrať dáke seno rovnako, ako krabička nabaliť baliaci papier. Preto sa treba na chvíľu zastaviť, spomaliť, nadýchnuť a ísť na to.

Rozmer a tvar papiera

Na tvare papiera záleží. Buď sa nastriháš moc, alebo tak akurát. Tu si ukážeme tri rôzne spôsoby, ako obaliť krabičku a čo to znamená vo vzťahu k množstvu minutého papiera a vo vzťahu k množstvu sobom zožratého sena.

Presné obliepanie – mininálna baliaca plocha

Presné obliepanie podľa stien ideálnej krabičky sa nazýva v odbornej terminológii sieť kvádra. Plocha baliaceho papiera sa rovná ploche kvádra, avšak ak sa rozhodneš ísť týmto smerom, máš čo robiť so strihaním – minimálne 8 rôznych strihov, no do toho nepočítam odstrihávanie z rolky. Navyše budeš mať nechutne veľa odpadu.

Môže sa rovnako aj stať, a ver, že sa to stane, že hrany krabičky bude cez strihy siete vidno, čo výsledný wow efekt pre obdarovaného mierne zníži a ty budeš vyzerať ako chudák, ktorý si nevie zaviazať ani šnúrky na topánkach. Teoreticky to môže na baby pôsobiť dobre a vyvolať v nich taký ten materinský cit sa o teba začať starať, pretože sa o seba nedokážeš postarať sám.

via GIPHY

S touto zámienkou ti neskôr radšej vezme aj peniaze. Tento neželaný jav je daný tým, že určite nestriháš presne. Pri tak zabalenom darčeku ho dokonca aj sob môže s kľudným svedomím odmietnuť odniesť. Keďže nežijeme v dokonalom vesmíre, ktorý je však až dokonale zhodný s matematikou, túto možnosť, prosím, zavrhni hneď teraz.

Ak si to chceš nakresliť, aby si videl svoju cestu do pekiel, odporúčam izometrický papier [PDF]. Je to fakt cool. Sleduj:

Balenie krabičky do presnej siete identického kvádra je síce matematicky fajn, ale vzhľadom na tvoj budúci partnerský život túto možnosť zavrhni hneď teraz.

Rovnobežné balenie – maximálna baliaca plocha

Keď sa rozhodneš zabaliť krabičku pomocou rovnobežiek (strana papiera je rovnobežná so stenami krabičky), sob si asi rozdiel nevšimne, ale rozhodne je to matematicky nevýhodný spôsob. Ukážme si to najskôr na nákrese:

Rovnobežné balenie ťa oberie o vlastnícke práva na svoj život.

Výpočet plochy papiera dá vzorček, ktorý prezradí, že oproti presnému obliepaniu popísanému vyššie pridávaš navyše štyri rohy, ktoré presné obliepanie celkom určite vylúči. Práve kvôli tým štyrom rohom. Tu míňaš až príliš veľa papiera, aj keď striháš menej. Ešte existuje možnosť skrátiť jednu stranu až na samotnú hranicu hodnoty c, čím by si sa stále nezbavil štyroch rohov plochy papiera.

Táto možnosť ti síce zlepší vyhliadky na založenie budúcej rodiny, ale hovorí o tebe, že plytveš zdrojmi a môže viesť až k strate vlastníckych práv na všetko, čo vo svojom živote povieš alebo urobíš. Po istom čase ti nebude patriť už ani sob.

Diagonálne balenie – ideál, lámač ženských sŕdc

Jedná sa o také balenie krabičky, že papier bude vždy štvorec, ktorý je samozrejme závislý od troch rozmerov krabičky. Túto závislosť prejavujú aj dva vyššie spomínané spôsoby, ale nechcel som to furt motať a otravovať ťa s tým. Ukážme si to najskôr na nákrese:

Diagonálne balenie ušetrí čas, ušetrí peniaze a zvýši tvoje spoločenské postavenie.

Keďže pracujeme s ideálnou krabičkou, tak pootočenie papiera voči nej určíme na 45°. Následné výpočty plôch dajú vzorček, ktorý porovnaním s vyššie spomínanými dvomi dokáže, že takto odstrihnutý papier je ideálny. Rohy štvorca, ktoré na papieri presahujú hodnotu c, sú rovnoramenné pravouhlé trojuholníky s výškou rovnou polovici ich prepony. Túto sexy vlastnosť baliaceho papiera nijak inak nezískaš, iba takto.

Jediné, čo teraz potrebuješ je, aby si si zmeral rozmery krabičky a vyjadril podľa nich stranu štvorca baliaceho papiera:

\[\sqrt(2)*(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c)\]

Kde a, b, c sú dĺžky hrán krabičky.

Nalož sobovi sena, spočítaj veľkosť papiera, štvorec s takto dlhou stranou následne vystrihni, vyskúšaj, zabaľ krabičku a vyraz obdarúvať. Odteraz ušetríš papier, peniaze, čas, seno, prírodu i svoju budúcu česť.

Praktický príklad

Dajme si nejakú ideálnu krabičku, krabičku s iPhone-om vo vnútri. Neskúšaj to robiť bez toho obsahu, lebo si to poserieš. Prázdna môže byť iba za jedinej podmienky, že tam bude prsteň:

Vzor ideálnej krabičky. Povolený obsah je iPhone alebo prsteň.

Rozmery tejto cool krabičky sú dĺžka (a) = 15,6 cm, šírka (b) = 8,6 cm a výška (c) = 4,9 cm.

Plocha papiera v tvare plášta tejto krabičky:

\[S_{min}=2*(ab+ac+bc)=505,48 cm^2\]

Plocha papiera v rovnobežnej verzii:

\[S_{max}=4*(a+c)*(b+c)=1107 cm^2\]

Plocha papiera v diagonálnej verzii:

\[S_{ideál}=\frac{1}{2}*(a+b+2c)^2=578 cm^2\]

Podľa uvedených výpočtov je diagonálna verzia najlepšia vzhľadom na množstvo strihania a množstvo minutého papiera. Dokonca to množstvo kleslo cca. na polovicu oproti rovnobežnej verzii strihania. Pecka, že?

Matematika to vie krásne a čisto spočítať, avšak realita je taká, že meranie a strihanie budú značne nepresné, tak aby nedošlo k nepeknými milimetrovým medzerám pri zaliepaní baliaceho papiera, nakŕm soba a pridaj na obvode daného papiera ešte pár centimetrov štvorcových, aby bol výsledný štvorec o čosi väčší, ako ten presný matematický.

Lovu zdar!

via GIPHY

Kategórie
Vzdelávanie

Pozor na obrusy, ohrozujú život tvojho kocúra

Keď sa rozhodneš háčkovať vianočný obrus, dobre si premysli, aký bude mať tvar. Alebo rozprávanie o tom, prečo je lepšie háčkovať obrus obdĺžnikový, ako kruhový, ak hovoríme o čase. Ak chceš zarobiť viac, háčkuj kruhové obrusy.

Je jedno, čo stojí za tvojim rozhodnutím háčkovať hračky, obrusy alebo spodné prádlo, avšak dobre si to rozmysli, lebo je celkom možné, že výsledný tvar rozhodne o tom, či svoj výtvor dokončíš alebo nie.

Sada háčkovaných vecí

Skúsim ti ukázať, že ručne vyrábať kruhové háčkované obrusy je časovo náročnejšie, ako tie štvorcové alebo obdĺžnikové. Najprv si dajme úlohu: ak chceš urobiť tvar s presným obvodom, napr. 200 cm, ale s čo najmenším obsahom, tak urob obdĺžnik. Musí to byť obdĺžnik čo najslížovitejší, ako sa len tá. Ak chceš obsah čo najväčší, urob kruh. Niečo medzi nimi je potom štvorec.

Zistíš to tak, že si rozkreslíš rôzne možnosti obdĺžnikov, medzi nimi aj štvorca a budeš skúmať zmenu ich strán a pri tom počítať ich obsahy. Pamätaj ale, že musíš zachovať rovnakosť ich obvodov.

Rôzne druhy obdĺžnikov

Všimni si, že obvod vyššie uvedených obdĺžnikov je 200. Ich obsahy sa však líšia. Najväčší obsah má štvorec, najmenší má obdĺžnik, ktorého jedna strana je najkratšia. Keby si túto stranu zmenšoval ešte viac, až na veľkosť 1, tak jeho obsah by bol len 99, čo je fakt, že málo. Zaujímavý prípad je obdĺžnik s jednou stranou dlhou takmer nula. Z toho bude jeho druhá strana dlhá takmer 200, ale vždy niečo tesne pod touto hodnotou, kým obvod tohto obdĺžnika bude 200, jeho obsah bude skoro nula.

Obrus o dĺžke 200 a šírke takmer nula sa bude ponášať na kus dvojmetrovej priadze, čo sa najskôr bude páčiť tvojmu kocúrovi, ako babičke. Z toho dôvodu neodporúčam háčkovať tento tvar. Zameraj sa na nejaké výraznejšie a nenulové hodnoty.

Čas

Aby problém háčkovaného obrusu nadobudol zmysel, odmerajme čas háčkovania, pretože tvoj kocúr potrebuje jesť. Čím dlhšie háčkuješ, tým je bližšie k vyhladovaniu. A to nechceš ani ty, ani tvoj kocúr.

Štyri časy háčkovania

Ako na obrázku vyššie, za čas T1 uhačkuješ obrus s obvodom 120 a s obsahom 48×72=3456. Dáš si pauzu, kocúrovi hodíš klbko a rozhodneš sa ešte pridať tri ďalšie vrstvy. Každou vrstvou pridáš obvodu nových niekoľko jednotiek dĺžky. Povedzme, že v čase T2 bude obvod 180, v čase T2 bude obvod 240 a v čase T3 bude 300.

Štvorec

Keď sa trochu zamyslíš, pre štvorcový obrus získaš za predpokladu rovnakých podmienok, ako pri obdĺžniku, veľmi podobné hodnoty. Celý obrus bude trvať uháčkovať o čosi dlhšie.

Kruh

Skúsme sa pozrieť na kruhový obrus. Kocúr sa pozerá tiež, dobre sa najedol, má čas sledovať ťa pri háčkovaní.

Okrúhly háčkovaný obrus vo vrstvách

Zase predpokladajme, že obvod obrusu v čase T1 je 120 a ty chceš pridať ďalšie tri vrstvy tak, aby obvody v časoch T1, T2 a T3 boli rovnaké, ako pri obdĺžniku. Čiže postupne 180, 240 a 300 jednotiek dĺžky.

Poďme sa teraz pozrieť na problém háčkovania obrusu a hladu kocúra z časového hľadiska trochu konkrétnejšie. Vzorce na výpočty obvodov a obsahov rovinných útvarov si vieš nájsť, to tu nebudem zapletať. Dokonca si to ani pamätať nemusíš. Ale o tom by sme si pokecali dakedy inokedy.

Už sme si povedali, že obvody oboch útvarov chceme mať rovnaké, čiže sa musia rovnať.

\[O_{štvorec}=O_{kruh}\]

Tu prebehli ekvivalentné úpravy rovníc, ktoré nebudem uvádzať, lebo neviem, či si to vyhľadávače nevyložia nesprávnym spôsobom a tento článok nebude možné nájsť.

Dostaneme vzorec pre výpočet obsahu kruhu vzhľadom na dĺžky strán obdĺžnika za predpokladu, že ich obvody sú zhodné a zároveň kocúr už jedol:

\[S_{kruh}=\frac{(a+b)^2}{\pi}\]

Kde a, b sú strany inkriminovaného obdĺžnika. Rozmeňme si teraz rýchlosť háčkovania pomocou štvrtého rozmeru časopriestoru, pomocou času.

Predpokladajme, že 10 jednotiek obsahu háčkuješ 1 minútu. Tabuľka časov pre konkrétne rozmery obdĺžnikového a kruhového obrusu bude nasledovná:

ObvodObsah obdĺžnikaČas háčkovania štvorca v minútachObsah kruhuČas háčkovania kruhu v minútach
12086486,41145,92114,59
18013501351790,49179,05
2403456345,64583,66458,37
30054005407161,97716,2

V grafe to bude vyzerať trochu krajšie a jasnejšie.

Print  CSV  Excel  Copy  

Háčkovanie rýchlosťou 10 jednotiek obsahu za minútu je dosť veľká rýchlosť, reálne to bude možno desaťkrát pomalšie. Záleží od tvojich megaskúseností.

Závislosť času od obvodu je zásadne rozdielna, čím väčší obvod obrusu požaduješ. Len tak pre predstavu, ak má obrus obvod cca 420 cm, tak kruhový obrus bude mať polomer cca. 67 cm. Jeho uháčkovanie bude trvať takmer 24 hodín, kým obdĺžnikový (v konkrétnom pomere strán) cca. 17,5 hodiny, čo je podstatný rozdiel.

Tak bacha na kruhové obrusy. Z finančného hľadiska je kruhový obrus vždy drahší ako obvodovo analogický obdĺžnikový, preto ich skôr predávaj, ako kupuj. Ale pozor na hlad tvojho kocúra, lebo čas strávený háčkovaním bude príliš rýchlo narastať, asi tak rýchlo, ako jeho hlad. Za predpokladu, že jediná myš, s ktorou sa stretáva, je tá na konzerve, bude preňho háčkovaný obrus život ohrozujúci.

↓ Gifko dole nie je háčkovanie.

via GIPHY

Kategórie
Vzdelávanie

Ako násobiť pomocou tabličkovej čokolády

Čokoláda nie je len chutná, ale aj užitočná vec. Priprav si chuťové poháriky, ideme si prezradiť zákutia matematického vesmíru, o ktorých ti nikto nechce povedať, pretože si chce ušetriť čokoládu pre seba. Dámi a páni, toto je metóda čokoláda.

Prečo je násobenie cool

Násobenie je cool, pretože porušuje intuitívnosť. V škole každého z nás učili, že nemôžeme dávať dokopy hrušky s jablkami. Násobenie to dovoľuje. Dovoľuje, aby ste medzi sebou vynásobili dve čísla, číslo s písmenkom, písmenká medzi sebou, objem s obsahom, škrečka s krokodílom. Sleduj:

Násobenie vecí.

Násobenie škrečka s krokodílom neodporúčam, ak nechceš prísť o škrečka. Ako je ale možné násobiť obsah s objemom? Dá sa to povedať aj tak, že máme toľkokrát objem telesa, aký má druhý tvar obsah.

Preto je násobenie cool. A nielen to. O chvíľu zistíš, prečo kvôli násobeniu môžeš pribrať. Tak bacha na postavu.

Budem stále hovoriť o dvoch číslach násobených medzi sebou. Čisto iba pre jednoduchosť. Ak násobíš tri a viac čísel dokopy, rozdeľ si to na postupné násobenie najskôr dvoch a potom výsledku násobenia zo zvyškom, teda zase dvoch čísel. A tak ďalej.

Dve jednociferné čísla

Prichádza čokoláda. Tramtadadá!

Čokoláda

Keď sa opýtam, koľko tabličiek má čokoláda, každý pozná odpoveď aj výpočet. Tri riadky po päť stĺpcov tvorí spolu pätnásť tabličiek. Za podmienky, že čokoládu nenašiel iný rodinný príslušník alebo škrečok za predpokladu, že ho nezjedol krokodíl.

Zápis je 3*5=15.

Pomocou čokolády vieš vynásobiť akékoľvek dve jednociferné čísla.

Dve viacciferné čísla

Keď ti však dám vypočítať 99*97, asi bude dosť namáhavé kresliť čokoládu s 99 stĺpcami a 97 riadkami. Nedávalo by to zmysel a rozhodne by si aj moc rýchlo vypísal pero, čo nechceš, pretože o pár minút to môže byť životne dôležité. Ani spočítať počet tabličiek takej mega čokolády nie je triviálne.

Aj napriek tomu čokoládu nakreslíme. Bude mať však toľko tabličiek, koľko je cifier v oboch číslach. Kuk sem:

Čokoláda pre násobenie viacciferných čísel

Ak dostaneš dve trojciferné čisla, tak čokoláda bude mať 3 krát 3 tabličky. Všimni si, že po stranách čokolády som napísal dané čísla, ktoré idem vynásobiť.

Teraz čokoládu rozrež dosť ostrým nožom (pozor na zranenia) podľa diagonál jednotlivých tabličiek:

Nakrájaná čokoláda

Každá tablička čokolády bude teraz menšou miničokoládkou, ktorá bude mať toľko tabličiek, ako je násobok čísel po jej stranách. Takže postupne máme deväť krát deväť, deväť krát deväť, deväť krát sedem a deväť krát sedem. Kukni a rozmýšľaj, prečo sú zapísané tak zvláštne:

Počet minitabličiek v miničokoládach

Namiesto kreslenia minitabličiek do tabličiek veľkej čokolády napíšeme číslo tak, že jeho cifry budú rozdelené diagonálnymi rezmi. (Takto nakrájaným koláčom návštevu dokážeš ohúriť. Matiku pri tom radšej neposmínaj.) Dve tabličky v prvom riadku rozdelené na menšie budú obsahovať po 81 tabličiek a dve tabličky v druhom riadku rozdelené na menšie budú obsahovať po 63 tabličiek.

Ideme kúzliť. Najprv si pozri obrázok:

Matematické čáry–máry, abrakadabra, fuk!

Teraz spočítaj čísla na diagonálach (to sú tie šikmé tunely vzniknuté šikmými rezmi) postupne odzadu. Čiže najskôr získaš číslo 3, potom číslo 10, potom číslo 15, potom číslo 8. Takto odzadu to treba aj upratať.

Nasledujúci odsek čítaj čo najpomalšie, ako sa len dá:

Trojku nechaj tak, z desiatky nechaj nulu, jednotku posuň k číslu 15. Tam dostaneš 16. Z toho čísla nechaj na mieste šestku a jednotku posuň k osmičke. Na prvom mieste tak dostaneš číslo 9.

Čítal si pomaly? Ak nie, ešte raz a sleduj obrázok vyššie.

Výsledok zapíš teraz odpredu ako 9603.

9603

Celý problém násobenia dvoch mierne nechutných čísel si takto rozbiješ na jednoduché násobenie malej násobilky, ktorej výsledky len sčítaš.

Teraz ti odporúčam dať si čokoládu, ale pozor na počet tabličiek (kvôli postave) a na za rohom číhajúceho škrečka.

Dve desatinné čísla

Touto fintou vyrazíš dych nejednému krokodílovi. Za predpokladu, že je rovnako inteligentný, ako ty. Inak to radšej neskúšaj.

Dajme si dve desatinné čísla, ktoré chceš medzi sebou vynásobiť. Hocijaké. Napríklad: 3,14 krát 2,718. Skús to najprv klasickou metódou bez kalkulačky alebo bez PhotoMath (podľa toho, čo máš viac po ruke) a stopni si čas. Nezabudni si dať pri tom čokoládu, budeš ju potrebovať.

Ak máš, mal by si mať výsledok 8,53452.

Teraz na to aplikujme čokoládu a výsledok by mal vyjsť rovnaký. Napíš si obe čísla ako na obrázku nižšie:

Čokoláda určená na (zjedenie) násobenie

Zámerne nepíšem desatinné čiarky. Nie preto, že by ich zjedol škrečok, ale preto, že ich úloha príde neskôr.

Ak si pozorne sledoval postup násobenia dvoch viacciferných čísel, vieš, čo bude nasledovať. Čokoládu teraz nakrájaj šikmými rezmi podľa diagonálnych čiar, ako na obrázku nižšie.

Nakrájaná čokoláda alebo aj čokoládová kométa

Teraz nasleduje zopakovanie malej násobilky. Najprv kukni obrázok, čo je nižšie a potom čítaj ďalej pod ním. Pozor na škrečka, ktorí to celé sleduje spoza tvojho chrbta, môže kuť pikle.

Čokoládka a menšie miničokoládky

Každá tablička tejto čokolády vytvára novú miničokoládku. Napr. tablička vľavo hore obsahuje výsledok násobenia čísel 3*2, čo je 6. Okolo šikmého rezu v tejto tabličke napíšeme číslo 6 aj s nulou na začiatku v tvare 06. To sa môže. Nula na začiatku nič neznamená, len zníži riziko výpočtovej chyby, rakoviny a srdcovocievnych chorôb. Spočítaj takto čísla v každej tabličke. Prvú cifru výsledku zapíš nad šikmý rez v tabličke, druhú cifru výsledku zapíš pod šikmý rez v tej istej tabličke.

Výsledné čísla spočítame po jednotlivých šikmých tuneloch tak, že ako prvý spočítame najviac pravý tunel. Potom tunel druhý sprava atď. Najprv teda vypočítame číslo 2, potom 5, potom 4, potom 3, potom 5, potom 8, a nakoniec 0. Nezabúdaj na cestujúce cifry, ktoré musíš medzi šikmými tunelmi posúvať, aby bol výsledok presný.

Ak ti to nie je stále jasné, pokukaj obrázky v tomto článku ešte raz, trochu pomalšie, zjedz pri tom čokoládu 🍫 a dávaj pozor na škrečka.

A čo desatinné čiarky?

Do nakrájanej čokolády pridaj 2 kusy desatinných čiarok tak, ako vidíš na nasledujúcom obrázku.

Do čokolády dávame zmes s príchuťou desatinnej čiarky

Desatinná čiarka v jednom (3,14) aj druhom čísle (2,718) zvýrazňuje chuť miesta medzi tabličkami, ku ktorým prislúchajú jednotlivé číslice. Čiary, ktoré z čokolády ukazujú na desatinné čiarky, zvýrazni tak, že získaš ich priesečník medzi tabličkami čokolády.

Je všeobecne známe, že priesečníky sú miesta na čokoláde, o ktoré sa nikto nechce deliť. Preto sleduj nasledujúci obrázok a uvidíš, ako sa dve zvýraznené čiary zmenili na jednu, ktorá kopíruje práve jeden šikmý rez čokoládou až k výslednému číslu.

Máme výsledok, čo je číslo 8,53452.

Čokoláda je mocný nástroj v matematike. Ak máš na jednu chuť, daj si, lebo to bude ešte divokejšie.

Čísla zapísané dosť divne

Existujú aj čísla, ktoré sú zapísané dosť zvláštne. Dokonca až tak zvláštne, že nad tým človeku rozum stojí, a škrečkovi koliesko. Pozri obrázok nižšie.

Divné čísla a ich súčin

Tieto dve čísla (každá zátvorka vyjadruje jedno číslo) sa nazývajú mnohočleny, lebo majú mnoho členov. Tieto dva mnohočleny chceme vynásobiť. PhotoMath ti síce hneď ukáže výsledok, ale už nezistíš, prečo ten výsledok je taký, aký je. Čokoláda síce nie je zadarmo, ako PhotoMath, ale dokáže to vysvetliť.

Na začiatku sme si povedali, že násobiť môžeš medzi sebou dve ľubovoľné čísla alebo veci. Rovnako je nutné chápať, že každý z mnohočlenov v uvedenom zápise je jedno číslo. Tieto čísla nazvime úsečkami. A čo sa stane, ak vynásobíme medzi sebou dve úsečky? Vypočítame obsah nejakého útvaru. V tomto našom prípade bude tým útvarom čokoláda. Chutné, že?

Označme si každý mnohočlen ako úsečku.

Preúsečkovanie mnohočlenov

Teraz si to predstav ako násobok „úsečka krát úsečka“, čo je v podstate obsah nejakého obdĺžnika. Ten obdĺžnik nazvime čokoláda.

Úsečková čokoláda

Prvú aj druhú úsečku prepíšme pomocou oboch mnohočlenov takto:

Mnohočleny ako dĺžky úsečiek spolu tvoria čokoládu

Dĺžku úsečiek som rozpísal pomocou členov mnohočlenov tak, ako sú zapísané. Pri tomto prepise nesmieš zabudnúť na znamienka mínus. Matematika v tomto prípade umožňuje aj kúzla vo forme úsečiek so zápornou dĺžkou (mínus jedna, mínus dva, mínus štyri ix), čo by v realite nebolo možné. Vieš si predstaviť čokoládu s mínus tromi tabličkami na šírku? Ja nie, možno len prejedený škrečok.

V tejto chvíli potrebuješ trochu poznať počítanie s mocninami, avšak nie je to až tak nutná podmienka, lebo čím viac čokolád zješ, tým viac budeš vedieť s mocninami počítať. A keď to nebude fungovať, predsalen klikni sem a zaskroluj dole. Alebo môžeš kuk aj na Wikipediu. Je pravda, že existujú učitelia, ktorí webové zdroje zatracujú ako zdroj chýb, ale keď si všetko overíš aspoň z dvoch rôznych zdrojov, ku chybe sa dopracuješ s minimálnou pravdepodobnosťou. Aj tento článok bude patriť do množiny zatracovaných zdrojov 😉 a pri tom zvyšovať pravdepodobnosť tvojho úspechu pri maturite alebo na nejakej písomke.

Pozri čokoládu na obrázku nižšie a zamysli sa nad tým, čo sa v jej tabličkách odohralo.

Takýto koláč by sa babičke asi nepáčil, ale rozhodne by bol moc inteligentný

Výsledok súčinu dvoch na začiatku uvedených mnohočlenov bude súčet tabličiek výslednej čokolády:

Výsledný súčet tabličiek čokolády

Ixká s rovnakým exponentom sčítame spolu ako jabĺčka. Ixk na siedmu s iným ixk na siedmu atď. Výsledok bude potom tento:

Výsledok z čokolády

Pozri sa ešte raz na celý proces v jednej kôpke.

Násobenie dvoch mnohočlenov pomocou čokolády vcelku

Ja viem, výsledok moc krásny nie je oproti zadaniu, ale čokoláda ilustruje metódu tohto násobenia tak, aby ho osladila. Niekedy sa totiž stane, že celý výraz sa dá ešte viac zjednodušiť, ale to už nie je predmetom tejto úvahy.

Tak si to vyskúšaj práve pomocou metódy čokoláda:

\[(4x^3+5x^2-2x-12)*(2x^4-7x^2+2)\]

A pozor na postavu…

via GIPHY

Kategórie
Vzdelávanie

Ako klasifikovať žiakov

Skúsim sa teraz pozrieť na jednu veľkú, no zároveň nejednotnú časť pedagogickej činnosti: na klasifikáciu (známkovanie).

Aktuálna situácia

Aktuálne je stav nejednotný. Každý učiteľ hodnotí inak, iným spôsobom a s iným cieľom. Niekto žakov známkami vydiera, iný straší, avšak len málokto využíva známkovanie ako pozitívnu motiváciu. Možno si povieš: „ja som to prežil a tu som.“ Lenže tento postoj, ktorým sa každý snaží zľahčovať negatíva stavu klasifikácie, nič nerieši a neprináša do diskusie žiadne pádne argumenty, čo a prečo funguje. Len dokazuje tzv. spomienkový optimizmus, pri ktorom si mozog úmyselne, ale podvedome, vybavuje len príjemné veci z minulosti. Negatívne spomienky vytesňuje do podvedomia a človek tak potom nadobúda pocit, že „za našich čias bolo lepšie“.

Tento argument sa ako folklór prenáša aj na učiteľov, ktorí aktívne učia bez toho, aby sa nad tým kriticky zamysleli a posunuli tak svoj fach na vyššiu úroveň.

Mnohí veľkí didaktici od Komenského, cez Tureka, Petláka až po Čapka sa zhodujú na jednej veci: vzdelávanie musí byť prispôsobené individuálnemu nastaveniu každého žiaka, musí byť také ľahké/ťažké, aby bolo dosť zrozumiteľné, a aby sa na ňom dalo stavať.

Ako veľký problém vnímam to, že väčšinovo používaný systém klasifikácie túto zásadu porušuje od prvej po poslednú hodinu školského roka. Uvediem príklad. Máme v triede dvoch žiakov, volajme ich Karfiola a Fňoro. Na matematike Karfiola veciam chápe, no nestíha, Fňoro ide povrchne a zároveň s učiteľom. Karfiola rozumie len jednej veci, ale perfektne, ostatné látky si nestihla prejsť ani spracovať. Tú jednu však vie veľmi dobre aplikovať na široké spektrum problémov. Fňoro mý prebraté všetky látky, ale nechápe im vôbec a nevie ich použiť inak, ako na úzky okruh v zošite zapísaných problémov. Len mechanicky aplikuje metódy na zadané úlohy. Karfiola dostane z písomky známku 4, Fňoro 1. Táto absencia individuálneho poňatia hodnotenia spôsobí, že Karfiola na matematiku zanevrie, aj keď mala predpoklady jej super pochopiť, kým Fňoro bude rozkvitať, no nikdy nemusí matematiku chápať do potrebnej hĺbky.

Pritom stačí, aby písomka obsahovala rôzne druhy problémov a systém hodnotenia bol nastavený nie výkonovo, ale kriteriálne a uspieť mohla aj Karfiola. Zlý systém hodnotenia brzdí väčšinu žiakov v matematike sa posúvať na vyšší level.

(Budem sa na tento problém pozerať cez optiku matematiky, keďže ju aj učím.)

Metodický pokyn a zásadný rozpor v ňom

Ak sa učiteľ nevyhovára na „staré dobré časy“, ktoré prežil a snaží sa tiež aplikovať, tak sa začne vyhovárať na Metodický pokyn, ktorý pojednáva o hodnotení a klasifikácii.

Problém vidím v tom, že samotný Metodický pokyn obsahuje protichodné tvrdenia, ktoré nevidno skrze optiku zúženú len na päť klasifikačných stupňov nevšímajúc si všetko ostatné v ňom napísané. Pozrime sa na článok 10 nazvaný Klasifikácia predmetu matematika.

  1. Pri klasifikácii výsledkov v týchto predmetoch sa hodnotí v súlade s učebnými osnovami a vzdelávacími štandardami:
    1. Celistvosť, presnosť a trvácnosť osvojenia si požadovaných vedomostí a zručností. OK, toto je zrejme ľahko overiteľné pomocou zjednodušujúcich testov, avšak častokrát tu to pri klasifikácii aj končí.
    2. Schopnosť uplatňovať osvojené vedomosti a zručnosti pri riešení úloh, najmä praktických. Táto časť absentuje na hodinách, častokrát je zúžená len na „slovné úlohy“, ktoré len uzavreté problémy obaľujú slovom.
    3. Schopnosť využívať skúsenosti a poznatky získané pri praktických činnostiach na riešenie problémových úloh, príp. projektov. Na matematike chýba pomerne často, pretože učiteľ má predstavu, že jediná forma práce je výklad a iné veci by nestíhal, lebo musí prednášať. A keby neprednášal, tak by nestihol prebrať učivo. Oxymoron jak hrom.
    4. Aktivita v prístupe k činnostiam, záujem o ne a vzťah k nim. Domnievam sa, že táto časť sa hodnotí skôr slovne a gestami. Žiak sa snaží, pýta sa k veci, aby učiteľa moc nerušil, tak mu to pridáva na hodnotení. Akonáhle sa však spýta kvalitnú otázku, ale ktorá vyvedie učiteľa z výkladu, lebo musí prejsť do minulej témy, takému žiakovi hneď klesá kredit, lebo ničí učiteľov výklad.
    5. Schopnosť vyhľadávať a spracúvať informácie z rôznych zdrojov aj prostredníctvom informačných a komunikačných technológii. Chýba totálne. Strach z používania mobilov a internetu vedie matematiku ku skonstnatelému prístupu, že jediným nositeľom vedomostí je učiteľ, možno ešte trochu aj učebnica. Takže väčšinou v systéme hodnotenia chýba a niektorí učitelia dokonca aj zakazujú. V podstate sa oberajú o ďalší rozmer vyučovania.
    6. Schopnosť zaujať postoj, vyjadriť vlastné stanovisko a argumentovať. Toto, verím tomu, sa väčšinou nehodnotí vôbec, pretože na matematike sa to nijako nerozvíja. Učiteľ možno len zadá uzavretú otázku a čaká správne odpovede. Ak príde nesprávna, žiak je potrestaný horšou známkou a tým sa schopnosť argumentovať totálne devastuje. Schopnosť zaujať postoj sa buduje skrze nesprávne úvahy ústiace k nesprávnym výsledkom a následnú spätnú väzbu.
    7. Kvalita myslenia, predovšetkým jeho logickosť, samostatnosť a tvorivosť. Súvisí s bodom 6. Na matematike sa nehodnotí vôbec, pretože miesto toho sa hodnotí schopnosť aplikovať naučené metódy na sadu uzavretých problémov. V tomto procese sa nikde nevyskytuje samostatnosť a tvorivosť. Nikde, vôbec nikde.
    8. Kvalita výsledkov činnosti. Spočítaný výsledok sa často do tejto oblasti mylne umiestňuje, pretože si myslíme, že správny výsledok je totožný s kvalitným výsledkom činnosti. Lenže to je omyl. Kvalitný výsledok môže byť aj chybný, avšak ak sled matematických úvah dáva zmysel a badať v ňom hlboké porozumenie, výpočtový výsledok ponecháme kalkulačke. Kvalita by sa mala zameriavať na kritériá činnosti: nákres problému, postupné aplikovanie metód v rámci dokazovania a vyvodenie ďalších úvah atď. To je kvalita.
    9. Schopnosť a úroveň prezentácie vlastných výsledkov práce. Totálne chýba, lebo žiaci sa boja horších známok. Cieľom je, aby sa žiaci nebáli prezentovať aj nesprávne závery, pretože to podnieti ostatných žiakov k vyššiemu zapojeniu a k oprave prezentovaných chýb. Niekto spolužiaka opraví a tak sa spoločne naučia viac. Aj jeden, aj druhý. Akonáhle toto stopneme v zárodku, zabijeme možnosť vzdelávať sa.
    10. Pozícia a činnosť v skupine (pri skupinovej práci), schopnosť spolupracovať. Neaplikuje sa a ani nehodnotí. Prevláda názor, že matematika je činnosť, v ktorej musí vynikať jednotlivec vo všetkých oblastiach bez nutnosti pomoci od druhých. A to je blbosť. Je dokázané, že človek sa viac naučí, ak spolupracuje s ostatnými. Vzájomné učenie sa žiakov je vysoko efektívne.
    11. Osvojenie účinných metód samostatného štúdia a schopnosti učiť sa učiť. Nehodnotí sa, lebo chýba. Samostatná práca nie je schopnosť samostatne písať písomku. Samostatná práca je schopnosť vyriešiť otvorený problém, ktorého riešenie nie je evidentné, rozpoznať, aké metódy naň treba použiť a naučiť sa pri nich nové vedomosti, ktoré boli nutné pre vyriešenie získať. Samostatnosť, aj keď je to zvláštne, sa najlepšie získava prácou v skupine, lebo žiak odkukáva spôsoby, akým pracuje druhý spolužiak a tým táto schopnosť rastie.

Je jasné, že na vyučovaní matematiky sa učiteľ obmedzuje len na hodnotenie tej činnosti, ktorá je ľahko merateľná. A teda len výsledky. To je zásadná chyba, ktorá takto matematiku nechutne zužuje len úzkemu okruhu žiakov namiesto toho, aby bola otváraná každému z nich. Namiesto toho, aby matematika otvárala svet okolo nás, uzatvára sa len do výpočtov a faktov.

Vrátim sa ale späť k téme. Rozpor v Metodickom pokyne vidím v článku 3, odseku 5:

„Pri hodnotení sa uplatňuje primeraná náročnosť a pedagogický takt voči žiakovi, jeho výkony sa hodnotia komplexne, berie sa do úvahy vynaložené úsilie žiaka a v plnej miere sa rešpektujú jeho ľudské práva. Hodnotenie je motivačný a výchovný prostriedok, ako aj prostriedok pozitívneho podporovania zdravého sebavedomia žiaka.“

A zároveň v článku 10 a odsekoch 3, 4, 5, 6 a 7. Konkrétne napríklad odsek 6:

„Stupňom 4 – dostatočný sa žiak klasifikuje, ak osvojené vedomosti a zručnosti pri riešení úloh uplatňuje iba za aktívnej pomoci vyučujúceho, zadané úlohy vie riešiť len pomocou známych postupov a metód, ktorým rozumie len čiastočne, ovláda základné pojmy a vie predviesť jednoduché zručnosti, k činnostiam a problémovým úlohám na hodinách matematiky pristupuje s nízkym záujmom, potrebuje podporu a pomoc vyučujúceho, príp. spolužiakov …“

Avšak také niečo sa stať nemôže, ak sa pridržiavam článku 3 odseku 5. Ak dám žiakovi primerane náročný problém, vždy ho bude vedieť vyriešiť, bude aktívny a bude mať len vynikajúce výsledky. Postupne táto náročnosť bude rásť, ako bude rásť žiak. Len ak dám žiakovi zámerne ťažký problém, na ktorý aktuálne nestačí, je logické, že zlyhá. Zlyhávanie vyššie spomínaní didaktici vnímajú ako zásadný problém učiteľa, nie žiaka.

Ďalej je veľkým, a dnes dokázaným problémom, že známky 4 a 5 narúšajú sebavedomie a sebahodnotenie každého človeka. Kto sa potýka s problémami, na ktoré nestačí, získava negatívne hodnotenie vo forme známok. Žiaľ, aj keď cieľ je iný, tieto známky nevplývajú na zdravú sebakritiku, ale vytvárajú v človekovi pocit nízkej hodnoty, klesá mu sebavedomie a sám o sebe postupne začína tvrdiť, že je neschopný. Čo, samozrejme, nie je pravda. Avšak padne do špirály, v ktorej sa neustále presviedča, že nič nevie, neučí sa, získava zlé hodnotenie a utvrdí sa vo svojom presvedčení.

Problém je v tom, že hodnotenie tohto typu vôbec nezohľadňuje primeranú náročnosť. Zadania sú rovnaké pre všetkých bez možnosti výberu náročnosti alebo obsahu.

Zadania v škole na matike často vyzerajú takto. Je jasné, že väčšina žiakov neuspeje.

Riešenie tejto situácie vôbec nie je zložité. Nejeden učiteľ isto zalapá po dychu, že ako by to opravoval a kontroloval, keď bude mať 30 rôznych verzií písomiek. Odpoveď je jednoduchá: nemusí to nijako kontrolovať a overovať. Je žiadúce naučiť žiakov používať sebakontrolu. Takto: zadám problém, žiaci riešia, kto vyrieši sa ozve, overím, či splnil procesné kritériá a spýtam sa, či si overil výsledok na kalkulačke alebo so spolužiakmi, alebo podľa zadnej strany, alebo podľa materiálov, z ktorých sa učí ;-). Hotovo, bodka. Nič viac netreba. Ak je treba, dám spätnú väzbu, kde žiak robí chybu v úvahe. Takto sa žiaci naučia veriť svojmu mozgu bez nutnosti neustálej validácie zo strany učiteľa, nie nutne múdrejšieho. Jediné, čo sa učiteľ musí naučiť je dôverovať žiakom, že to dokážu.

Vnímať podporu a pomoc, ako niečo negatívne, nedáva zmysel

V článku 10 Metodického pokynu sa pri klasifikačnom stupni 4 spomína okrem iného aj toto: „…žiak potrebuje podporu a pomoc vyučujúceho, príp. spolužiakov“. A ja sa pýtam, kto z nás niekedy nepotrebuje pomoc niekoho skúsenejšieho? Je to azda dôvod na ponižovanie? Asi nie.

Ďalšia vec, ktorá je prehliadaná pri hodnotení je možnosť rozhovoru so žiakom. Dokonca metodický pokyn túto možnosť popisuje v článku 4 – Získavanie podkladov na hodnotenie a klasifikáciu, v odseku 1, v bode (e): „rozhovormi so žiakom“.

Rozhodne sa za rozhovor nedá považovať ponižovanie žiaka pred tabuľou. Rozhovor je podľa mňa nutný vtedy a len vtedy, ak nie je jasné, akú známku má žiak dostať. Väčšinou sa jedná o nerozhodné známky typu 1/2, 2/3 a podobne. Rovnako by sa malo jednať aj o učiteľovu evidenciu dobrých momentov z iných rozhovorov s každým žiakom. Počas vyučovania, kedy dôverujem žiakom, že sa dokážu samostatne veci naučiť, chodím pomedzi nich a vediem s nimi krátke rozhovory na danú tému priamo na mieste, kde sedia. Keď si k žiakovi navyše sadnem, vytvorím uvoľnenú atmosféru založenú na rovnocennom prístupe, v ktorej sa nikto nebojí argumentovať, obhajovať, prezentovať.

Ako upraviť hodnotenie, aby fungovalo

Ako uvádza Turek, ale i Čapek, hodnotenie známkami horšími, ako 3, teda stupňami 4 a 5, spôsobuje devastáciu osobnosti človeka. Preto ako učiteľ musím voliť také stratégie, aby zažil úspech ako pomalší, tak i rýchlejší žiak. Ako znalí, tak i neznalí. Musím nastaviť úroveň úloh rôznorodo, aby každý mohol na niečom zapracovať a dostať sa na vyššiu úroveň.

Po preskúmaní rôznych prístupov rôznych odborníkov som došiel na kriteriálne hodnotenie. Idem na to nasledujúcim postupom:

  1. Pozriem si uzavretý problém, napríklad sin(α)=x/y, ktorý hovorí len to, že žiak má vypočítať neznámu x.
  2. Upravím problém tak, aby som ho otvoril, aby jeho riešením nebolo jedno číslo. Napríklad: Ako dostaneš hovadsky ťažkú guľu (300kg) na schodisko? Navrhni postup a spočítaj dôležité údaje, ktoré potrebujeme na vyriešenie problému vedieť.
  3. Teraz nastavím kritériá na hodnotenie. Pri tejto úlohe budem hodnotiť: schopnosť nájsť metódu na riešenie problému, schopnosť aplikovať metódu na problém a schopnosť problém dokončiť.
  4. Nezaujíma ma výsledok. Vôbec. Pretože niekto si zvolí, že schodisko má 4 schody s výškou schodu 20cm, niekto iný zas zvolí iné hodnoty. Zameral som sa na spôsob premýšľania, spôsob použitia dostupnej litertatúry, voľbu vhodnej metódy a ťah na bránu.
  5. Kto zvládne tieto veci, dosadiť výpočet do kalkulačky je to najmenej, čo treba urobiť. Tá to spočíta celkom presne. To ja kontrolovať nemusím.
  6. Neporovnávam žiakov medzi sebou. Nikdy. Dávať pomalšiemu žiakovi horšie známky za rýchlosť je číre pedagogické zlo. Každý musí mať šancu.

Kto splní dané kritériá, získava jednotku. Kto nesplní, získava hodnotenie N (nesplnil kritériá), ale má možnosť úlohu kedykoľvek dokončiť a doniesť na dodatočné vyhodnotenie.

Musím povedať, že tento prístup žiakov dokáže aktivizovať na veľmi vysokú úroveň, čo zabezpečí, že sú aktívni na veľkej väčšine hodín. Nie sú len pasívnymi zapisovačmi poznámok a zaspávaním pri výklade.

Skončia všetci s jednotkami?

Otázka, čo trápi každého učiteľa, rodiča, žiaka. Ako je možné, že žiak, čo vie menej, získava jednotky? Moja odpoveď je: „lebo je porovnávaný sám so sebou, nie so spolužiakmi“. Bude mať jednotku aj na konci roka? To sa uvidí na konci roka. Čaro kriteriálneho hodnotenia je, že je vysoko individualizované. Každý žiak môže riešiť úlohy na jeho úrovni a má tak možnosť zažívať úspech a zároveň dostáva spätnú väzbu, čomu ešte nerozumie. Práve vďaka tomu nie každý bude mať na konci roka jednotku. Každý má však šancu ju dosiahnuť.

Do hodnotenia vstupujú ešte ďalšie faktory, ako sebareflexia žiaka, pozorovanie učiteľa, rozhovor so žiakom, vzájomná spätná väzba, vzťah k predmetu. Spôsob hodnotenia jednotka alebo N je spôsob, ako rozhýbať žiakov a posunúť ich z roviny pasívneho prijímania informácii do aktívneho bádania, pri ktorom je väčšia šanca, že sa niečo naučia. Ak k tomu prirátame úlohy, ktoré sú variabilné, čo sa týka náročnosti, tak ktokoľvek, kto je aktívny, nemôže skončiť horšie ako so známkou 3.

Jediné, čo stačí, je zmeniť naučenú paradigmu toho, čo je to vzdelávanie a kedy k nemu dochádza, a hlavne, dôverovať žiakom ako schopným bytostiam, ktoré to dokážu.

Kategórie
Vzdelávanie

Príbeh jednej triedy 2

Druhý polrok učenia matiky v šiestej triede priniesol mnoho zaujímavých zistení a skúseností.

V prvom článku som rozpitval spôsob, ako v triede pracujem, a že si meriam klímu, aby som vedel, ktorým smerom pôsobiť na jej úpravu. Známky boli z 99% jednotka, alebo nič, aj napriek tomu nie každý skončil na vysvedčení s jednotkou z matiky. Najhoršie mohli skončiť s trojkou, avšak realita je taká, že najhoršia známka bola dvojka.

Každý zo žiakov urobil obrovský pokrok a nedá sa povedať, že (nazvyme ho) Fňoro bude mať trojku len preto, že vyriešil menej zadaní, ako (nazvyme ho) Chňoro, ktorý matematike rozumie. Obidvaja sa posunuli v matematike dopredu, jeden viac, druhý menej. Ale posunuli sa. A nielen v matematike. Občas mi nejaký rodič vyčíta, že so žiakmi robíme diskusné kruhy, pýtam sa ich na pocity z matematiky a tak. Že to patrí na etiku. Ja hovorím, že to je blbosť, že ja ako učiteľ musím poznať vnútorné pocity a myšlienky mojich žiakov. Inak by som si nevedel prispôsobiť výučbu individuálnym potrebám každého z nich.

Po druhé, predmety musia byť previazané krížkom krážom. Nemôžeme ich oddeľovať, lebo potom nudia. Ak na matike žiaci kreslia, robia hudbu, vymýšľajú radostný pokrik, navrhujú podlahu, zachraňujú slimákov, zrazu je na hodine sranda, počas ktorej robiť zadania nie je nič otravné.

Vďaka týmto hodinám, kde viac prikladám váhu jemným zručnostiam, ako imitáciám kalkulačky, badám, že isté vzťahy v triede sa zlepšili a teda sa týmto žiakom lepšie tie zadania riešili. Aj keď MCI dotazníkom som zistil, že klíma v triede sa nezmenila ani k lepšiemu, ani k horšiemu. Môžem sa len domnievať, že na to má vplyv aj výrazne negatívne pôsobenie niektorých mojich kolegov na iných hodinách.

MCI dotazník: na daných krivkách vidno, že sa v čase nijak výrazne nezmenili = klíma v triede sa nemenila, ostala rovnaká.

Keď z úst žiakov počujem vety typu: „pani učiteľka Karfiola Ozembuchová povedala, že sa nedostanem na strednú pri takejto matike,“ tak sa mi 🐠 vo vrecku otvára. Trochu som citát pozmenil, lebo už si ho nepamätám presne, ale obsah je rovnaký. Ja na to tvrdím, že sa dostanú, lebo na týchto hodinách sú aktívni žiaci, nie učiteľ. A tí žiaci musia makať jak včeličky, aby jednotky získali.

Povedzme, že za školský rok sme mohli mať dohromady 150 riadnych vyučovacích hodín. (5 hodín za týždeň.) Klasická výučba prebieha tak, že učiteľ 145 z tých 150 hodín vykladá, žiaci si píšu to isté, čo je v učebnici a učiteľ má supertrúper pocit, že ako super to tie decká ovládajú. Opak je pravdou. Rozumie malá hŕstka žiakov. Oni len vedia prerozprávať zošit pomocou úst bez použitia 🧠. Navyše takýto učiteľ v triede skôr kričí a utišuje žiakov a tým mrhá časom svojim i žiakov. Z hodiny odíde vyčerpaný s myšlienkami, aké sú tie deti sprosté.

Takýto pocit má klasický učiteľ, keď odkričí učivo v triede. Alebo možno ani nie. Ten krik ho vyčerpá.

O čo som sa snažil v triede ja, že na každú hodinu dostali žiaci niekoľko zadaní s názorným vysvetlením, o čo tam ide (s postupom), a bolo len a len na nich, aby to zvládli. Kto nezvládol, ale riešil, nedostal horšiu známku. Ktokoľvek zvládol a splnil kritériá, dostal jednotku.

Príklad takého zadania je nižšie.

Zadanie na riešenie matematického problému, keď sme šli von.

Žiaci vďaka tomu počas celého školského roka aktívne riešili od 115 do 337 zadaní, kde každé bolo iné, ale dotýkali sa predpísaných tém podľa tematického plánu. V priemere teda každý žiak aktívne pracoval na 193 zadaniach počas 150 hodín. Robiť v tomto ohľade priemer je totálna blbosť, ale ukazuje to na fakt, že väčšina žiakov pracovala na viac zadaniach, ako bolo hodín. Dokonca ani nedostávali domáce úlohy a sami si chodili po zadania, ktoré by mohli robiť mimo hodín matematiky. Nie všetci, ale dobrá tretina. Nie pravidelne, ale chceli a chodili.

Rovnako získané jednotky ukázali posun každého žiaka. Ako ukážku prikladám štyroch rôznych žiakov, z ktorých dvaja získali na konci roka jednotku z matiky a jeden dvojku.

Každý stĺpec vyjadruje mesiac školského roka, číslo a stĺpec vyjadrujú počet vyriešených zadaní podľa kritérií a teda počet získaných jednotiek.

Zemohlav dostal na konci roka jednotku, lebo vidno vysokú mieru nasadenia, aj keď sa dopúšťal viac kalkulačkových chýb.
Karfiola získala na konci roka jednotku, lebo vidno neustály rast.
Hermelína dostala na konci roka dvojku, pretože jej prístup k riešeniam bol pomerne povrchný a nedôsledný. Jej produktivita klesala.
Ňúnia dostala na konci roka jednotku, pretože bola pomalšia, ale veciam perfektne dokázala porozumieť.

Známky žiaci nezískali porovnaním sa medzi sebou, ale iba v porovnaní seba so sebou v minulom čase. Tieto grafy dostávali pravidelne aj rodičia aj žiaci, aby vedeli, kam sa ich ratolesti posúvajú.

Verím, že moja snaha byť žiakom sprievodcom za poznaním, byť človekom, ktorý sa im snaží pomôcť, sa vyplatila a do budúcnosti prinesie to, čo priniesť mala.

Na záver si dovolím odporúčanie, aby hymnou žiakov navždy bola skladba od Pink Flody – Another Brick in the Wall a pre učiteľov nech je mementom, že deti nie sú stroje, ale ľudské bytosti, ktoré si zaslúžia rešpekt, obdiv a uznanie.

Kategórie
Len pre info

Zrušenie známok nič nevyriešiť

Kedysi som si myslel, že bez známok by sa nám lepšie učilo, deti by mali lepšie výsledky. Dnes tvrdím opak a vysvetlím prečo.

Odporúčam najskôr prečítať si článok od Roberta Čapka, odborníka na didaktiku, ako odpovedá Tatovi parťákovi (ďalej žiež TP) ohľadom hodnotenia a negatívneho postoja k známkam.

Článok Roberta Čapka ako odpoveď Tatovi parťákovi.

Čo sa týka známok, musím podotknúť, že momentálne píšem prvú atestačnú prácu práve na tému hodnotenie a klasifikácia a ich vplyv na výsledky žiakov. A rovno sa to týka matematiky. Túto prácu po úspešnom obhájení chcem publikovať, ale pomedzi to môžem vymenovať pár zistení, ktoré sú evidentné, priamo z terénu.

Známkovanie motivuje

Či chceme, či nie, aj keď mnoho literatúry prináša mraky Mordodu nad známkovanie (a ja som kedysi tiež), známky deti motivujú. Sú ich hnacím motorom. Chcú, aby sa ich práca niekomu páčila. Chcú, aby sa na ne niekto usmial, ukázal ostatnému svetu, že ten Janko a tá Marienka majú za sebou kus poctivej roboty.

Samozrejme, známkovanie musím v triede robiť klimaticky, teda nebazírovať na chybách (lebo nakoniec tie učia najviac), ale dbať na procese. Keď vidím, že je žiak aktívny a rieši matematické zadanie, tak viem, že sa učí bez ohľadu na to, či popri tom debatuje so spolužiakom alebo či urobí pri tom výpočtovú chybu. Jeho mozog aktívny je, a preto si zaslúži jednotku, pokiaľ splní kritériá.

Ak kritériá nesplní, posielam ho zadanie dokončiť a ten žiak ho potom skutočne donesie dokončené.

Píšem to akurát po jednej takej matematike a musím potvrdiť, a dám za to aj ruku do ohňa, že som dnes dal minimálne toľko jednotiek, koľko bolo v triede žiakov. Každému sa ušlo, každý bol aktívny, no niekto vyriešil zadaní viac, niekto menej. To ale nevadí. Nejde o rýchlosť, ale o kvalitu. A tá tam bola.

Žiaci sa niekedy pýtajú, prečo niekedy dávam nálepky, niekedy pečiatky a často jednotky. Vravím, lebo chcem, aby to bolo pre nich pestré.

Ďalej sa mi často stáva, že žiaci si chodia pýtať zadania, aby ich dorobili doma. Sami, dobrovoľne. Chcú sa pochváliť, čo super sa deje na hodinách matematiky, ale kto by im rozumel, keby ukazovali, ako sa počíta obsah trojuholníka? Dovolím si tvrdiť, že väčšina dospelých by to nedala. Tie deti sa pochvália jednotkou: „mami, ja mám jednotku z matiky.“ Mamička povie: „oujé, to je megasuper, asi tomu fakt rozumieš.“ A sebavedomie stúpa, rastie a moje decká majú matiku radi. Fakt, aj keď to znie ako oxymoron.

Viem si predstaviť, že v čase puberty by bez známok decká na to proste kašľali, lebo by mohli, lebo dovtedy museli. Môžu sa na to vybodnúť aj pri jednotkách, ale kto by odolal? 😉

A ak tvrdíš, že známky motivujú externe, tak áno, máš pravdu. Avšak u dobrej tretiny triedy (8 až 10 žiakov) sa začína vytvárať pozitívny vnútorný vzťah k matematike, čo sa prejavuje častejšími otázkami v tejto oblasti, aktívnou účasťou, pomocou ostatným, radosťou, …

Známky nevytvárajú súťaž

Lebo neporovnávam žiakov medzi sebou. Jednotky má aj ten pomalší, aj ten, čo občas počíta vektory, lebo chce. (V šiestej triede, kde sa o vektoroch ani nehovorí.)

Známkami porovnávam len výkon samotného žiaka so sebou v minulom čase. Či urobil viac alebo menej zadaní ako minulý mesiac, či v čase rastie alebo stagnuje, prípadne, či sa na to viac a viac vybodáva.

A to, že dostáva niekto samé jednotky, neznamená, že bude mať na vysvedčení jednotku, pretože zohľadňujem celkový prístup a aktivitu. Aj keď, prečo by nemohol mať?

Takže toľko. Krátky zápis, ktorý som mal potrebu dať von. Azda niekomu pomôže sa zorientovať.

Kategórie
Vzdelávanie

Učenie sa žiakov medzi sebou

Prečo je učenie sa žiakov medzi sebou žiadúce a ako môže pomôcť učiteľovi.

Nemôžem to posúdiť všeobecne, vychádzam čisto z vlastnej skúsenosti. Myslím si však, že učitelia minimálne, ak vôbec, využívajú pozitívny efekt vzájomného učenia sa žiakov medzi sebou. Majme napríklad tému z matematiky: kombinatorika.

Klasický prístup používaný už dve storočia je tento: učiteľ urobí výklad, žiaci si znudene prepisujú učebnicu do zošita, na záver hodiny učiteľ urobí riadenú diskusiu s nudnými otázkami, na ktoré zodpovedia dvaja žiaci, čo téme rozumeli už predtým, občas sa vyskytne niekto, kto sa nebojí opýtať blbosť s tým súvisiacu. Ten je potom uzemnený, nech nie je drzý alebo podobne. Hodina končí, učiteľ sa teší ilúziou, že učivo bolo prebrané, myslí si, že žiaci vedia, je rád, že na hodine bolo ako na cintoríne. Opak je však pravdou, písomka na ďalšej hodine dokáže opak: žiaci nič nevedia. Prečo?

Nevedia preto, lebo učiteľ použil najmenej efektívnu metódu učenia. Učiteľ sa stále domnieva, že len on jediný rozumie téme a môže ju fundovane vykladať. Potom počuť z jeho úst konštatovania podobné tomuto: “žiaci nič nevedia, sú hlúpi.” Bez servítky musím povedať, že hlúpych z nich robia práve vyššie uvedené formy vyučovania.

Pozitívne na tom je, že každý jeden učiteľ môže zmeniť svoj spôsob práce tak, aby sa žiaci látku naučili, aby bol učiteľ spokojný, a aby to všetkých bavilo. Lebo ak to baví učiteľa, nakazí tým aj žiakov.

Poďme sa teraz spoločne pozrieť na jednu z metód, ako sa učiteľ nebude trápiť, žiaci sa naučia a všetci sa zabavia.

Vzájomné učenie

Vráťme sa k téme kombinatorika a ilustrujme si ukážkovú hodinu, ako by som ju realizoval a ty sa tým samozrejme môžeš inšpirovať.

  1. Pripravím si motivačný materiál na úvod do problematiky vo forme hry: čakanie na rub (hod mincou, kde vyhrá ten, kto prvý hodí rub).
  2. Na začiatku hodiny napíšem na tabuľu pravidlá hry a nechám decká vo dvojiciach hrať s tým, nech si zapíšu tabuľku výsledkov hodených strán s označením, kto vyhral (kto prvý hodil rub). Hra bude trvať povedzme 5 minút a žiaci zapíšu niekoľko hier, aby mohli porovnávať.
  3. Alternatíva k bodu 2: pravidlá si pripravím na kúsok papiera a rozdám ich do dvojíc.
  4. Na tabuľu napíšem nadpis KOMBINATORIKA.
  5. Zadám žiakom úlohu: nájdite aspoň 5 pojmov na tému kombinatorika. Pracujte vo dvojiciach a vysvetlite si, čo ste zistili. Svoje zistenia v rámci dvojice zapíšte do zošita. Zdroje, kde môžete čerpať informácie: učebnica, Wikipedia, B-Akadémia, YouTube. Prípadne iné. Máte na to 25 minút. Použiť môžete akúkoľvek techniku, ktorú máte so sebou.
  6. Po uplynutí času si prejdem dvojice. Ak dvojica spracovala tému, získavajú jej členovia jednotku. Kto nespracoval, jednotku nezískava, prípadne uplatním nejaké z pravidiel/trestov, ktoré máme na hodine.
  7. Ak ostáva čas, dám ešte pár minút na hru čakanie na rub.
  8. Nakoniec nechám decká formou zapísania percent na tabuľu ohodnotiť učiteľa a hodinu: 0% je najhoršia známka, 100% je najlepšia známka.

Máme spoločne po hodine, ktorá ma nestála nervy utišovaním žiakov, nestála ma skoro nič času, čo sa týka prípravy, avšak priniesila situácie, pri ktorých sa so žiakmi môžeme porozprávať na rôzne témy, prípadne sa aj zasmiať na nejakom vtipe.

Žiaci sa medzi sebou učili tým, že sa rozprávali o témach, ktoré našli. Samozrejme, ono to nie je tak sterilné, ako sa o tom píše. Tí žiaci sa medzi sebou rozprávajú aj o iných veciach. To je ale v poriadku. Kto sa v práci nerozpráva s kolegami o živote, vesmíre a vôbec? 😉

Prečo takéto vzdelávanie funguje

Aby som o tom len nerozprával z vlastnej skúsenosti, popíšem, prečo táto metóda učenia funguje a prečo je vysoko efektívna. Autori knihy Nauč sa to hovoria o výskumoch, ktoré tieto javy popisujú a vysvetľujú. Prvým z nich je to, že čím lepšie človek niečo vie, tým ťažšie bude danú vec učiť vo svojej jednoduchosti.

Je to spôsobené chybou metakognície, kedy sa človek celkom určite mýli v tom, ako uvažuje o rozdiele medzi tým, čo on učí a čo vedia žiaci. Človek schopný najlepšie posúdiť, s čím žiak pri danej téme ešte zápasí, je iný žiak, rozhodne to nie je učiteľ.

Vzájomné sa učenie je efektívne práve preto, lebo žiaci medzi sebou presne vedia, v čom majú alebo nemajú medzery, kým učiteľ nie je schopný tieto medzery pochopiť a pokladá ich za javy, ktoré je nutné trestať zlou známkou.

Zostručniť by sa to dalo jednoduchšie tak, že vzdelaný učiteľ nie je kompetentný efektívne učiť žiakov, kompetentní na to sú samotní žiaci.

Učiteľovi stačí vytvoriť na to vhodné podmienky a ovplyvňovať klímu v triede. Nie je to všeliek, a nie je dobré to aplikovať na každú tému. Ja osobne sebaučenie používam, ak chcem, aby si žiaci prešli nejaké pojmy, ktoré je vhodné, aby poznali: slovíčka v cudzom jazyku, diela autorov, matematické pojmy, pojmy z programovania, …